الملخص:
حصل وانغ هونغ، الحائز على ميدالية فيلدز لعام 2026، على أعلى وسام في الرياضيات عن طريق إثبات مجموعة كاكيتاني ثلاثية الأبعاد. وقد حققت هذه المسألة الهندسية التي امتدت قرناً من الزمن قفزة تاريخية بين يديها من بعدين إلى ثلاثة أبعاد، وأصبحت أهم إنجاز رياضي في العقد الماضي.
بعد ثلاثة أشهر فقط، اتخذت OpenAI هذا البحث خطوة كبيرة إلى الأمام: فهي لم تحل فقط تخمين دالة Kakeya القصوى ثلاثية الأبعاد الأكثر صعوبة، ولكنها أثبتت أيضًا لأول مرة أن بُعد Hausdorff لمجموعة Kakeya رباعية الأبعاد يساوي 4، مما دفع أفضل سجل سابق للبشر العالقين عند 3.059 أبعادًا إلى بعد واحد، ليصل إلى الحد الأعلى النظري.
ومع ذلك، هذا مجرد غيض من فيض في تحدي OpenAI لعالم الرياضيات.
هذه المرة، أصدرت OpenAI 722 مخطوطة رياضية في نفس واحد، مصنفة في 372 عائلة نتائج، تغطي مجالات تتجاوز بكثير مشكلة كاكيا، بما في ذلك فرضية شبه ريمان، ومسألة هيلبرت العاشرة، والمسائل الكاتالونية المرتبطة بالثوابت وعشرات من المشكلات الكلاسيكية الأخرى التي أزعجت المجتمع الأكاديمي لسنوات عديدة. جميع المحتويات مستمدة من نموذج داخلي لم يتم تسميته حتى الآن. تستغرق كل مشكلة في المتوسط 3 ساعات فقط.
قامت OpenAI بنشر هذه المخطوطات على GitHub، وفي غضون 24 ساعة من الاتصال بالإنترنت، حصلت على 10000 نجمة.
وقالت جمعية الرياضيات البشرية: "لم يطلب علماء الرياضيات من OpenAI القيام بهذا العمل." وذكر أيضًا أن هذه المخطوطات تفتقر إلى التحقق وكانت مجرد "تسويق أداء" آخر بواسطة OpenAI.
ما هي بالضبط المخطوطة رقم 074؟
أصل مشكلة كاكيا هو سؤال طرحه عالم الرياضيات الياباني سويتشي كاكيتاني في عام 1917: لنفترض أن لديك إبرة رفيعة، ضعها على سطح مستو، وقم بتدويرها في دائرة واحدة (أو دعها تشير في كل الاتجاهات). ما هي أصغر مساحة يمكن للإبرة مسحها؟
من الناحية البديهية، الإبرة لها طول، لذا يجب أن تمسح القرص عندما تدور مرة واحدة، أليس كذلك؟
ليس هذا هو الحال. لاحقًا، أثبت عالم الرياضيات بيشيكوفيتش أنه طالما كانت طريقة التدوير "ذكية" بدرجة كافية، فإن المساحة التي تمسحها الإبرة يمكن أن تكون صغيرة بشكل تعسفي، حتى أصغر من أي رقم موجب تحدده.
على هذا الأساس، قام علماء الرياضيات ببناء مجموعة ذات "مساحة صفر" والتي لا تزال تحتوي على قطع مستقيمة في كل اتجاه. يُسمى هذا النوع من المجموعات "مجموعة بيشيكوفيتش" أو "مجموعة كاكيتاني".
بما أن المساحة يمكن أن تصل إلى 0، ألا تنتهي هذه المشكلة؟ لكن لا.
لأن "المساحة صفر" تعني فقط أن هذه المجموعة ليس لها سمك ولا تشغل أي مساحة، لكنها لا تستطيع التعبير عن مدى "تعقيدها".
يمكن أن تكون المساحة الرياضية للخط وكرة الخطوط 0، ولكن من الواضح أن الاثنين ليسا نفس الشيء.
وهكذا غير علماء الرياضيات طريقة تفكيرهم. مع أن هذه المجموعة ليس لها مساحة، فهل هي مثل خط أم سطح، أم أنها أقرب إلى شيء صلب؟ إذن هناك "أبعاد".
الخط أحادي البعد، وقطعة الورق ثنائية الأبعاد، والصندوق ثلاثي الأبعاد. ولكن بالنسبة لبعض المجموعات "المتفرقة" بشكل خاص، يمكن أن يكون البعد عددًا عشريًا، مثل 2.5 بُعدًا.
يعد "بعد هاوسدورف" أحد أكثر المساطر استخدامًا. منطقها هو استخدام كرات صغيرة جدًا لتغطية مجموعة ما. كم عدد الكرات اللازمة؟ إذا تم تقليل نصف قطر الكرة بمقدار النصف، وتضاعف عدد المجالات المطلوبة، فستكون المجموعة أحادية البعد، مثل الخط؛ وإذا تضاعف أربع مرات، فهو ثنائي الأبعاد، مثل المستوى؛ فإذا كان ثماني مرات فهو ثلاثي الأبعاد كالجسم الصلب. بينهما هو البعد العشري.
في المستوى ثنائي الأبعاد، أثبت علماء الرياضيات منذ عام 1971 أن أي مجموعة تحتوي على قطع مستقيمة في جميع الاتجاهات يجب أن يكون لها بعد 2، حتى لو كانت مساحتها 0.
وماذا عن الفضاء ثلاثي الأبعاد؟ وماذا عن البعد الرابع؟ ماذا عن الأبعاد الأعلى؟ يخمن علماء الرياضيات: في الفضاء ذي الأبعاد n، طالما أن المجموعة تحتوي على قطع خطية ذات وحدة الطول في جميع الاتجاهات، فإن بُعد هاوسدورف الخاص بها يجب أن يكون مساويًا لـ n، حتى لو كان حجمها 0. هذا هو "تخمين مجموعة كاكيا" الشهير.
في عام 2026، فاز وانغ هونغ بميدالية فيلدز. كان السبب الرسمي لحصولها على الجائزة هو التقدم الكبير الذي حققته في مسألة حد فورييه ومسألة كاكيا ثلاثية الأبعاد. وأهمها وأكثرها شهرة هو تخمين مجموعة كاكيا ثلاثي الأبعاد المذكور سابقًا.
المشكلتان اللتان قامت OpenAI بحلهما هذه المرة هما "الإصدارات المعززة للطاقة" من وانغ هونغ.
الأول هو تخمين دالة Kakeya القصوى ثلاثي الأبعاد.
يشير "الحد الأقصى" في الاسم إلى ممارسة "اختيار الحد الأقصى للقيمة".
لنفترض أن هناك ضبابًا في الفضاء ذو كثافة غير متساوية. خذ قشة رفيعة وامتصها في أوضاع مختلفة. سيكون متوسط تركيز الضباب الموجود في القش مختلفًا.
جرب كل الاستيفاءات الممكنة في هذا الاتجاه، وسجل فقط الذي يحتوي على أعلى تركيز. هذه "القيمة الأعلى" هي "القيمة القصوى" في هذا الاتجاه.
قم بتغيير الاتجاه مرة أخرى، وكرر نفس الشيء، واحصل على "أعلى قيمة" أخرى. ومن خلال جمع أعلى القيم في جميع الاتجاهات، يتم الحصول على علاقة مقابلة بين "الاتجاه والقيمة الأعلى". يسميها علماء الرياضيات "وظيفة Kakeya القصوى".
الثاني هو حدسية البعد هودورف الرباعي الأبعاد، أي نقل الاستنتاج السابق من الأبعاد الثلاثة إلى الأبعاد الأربعة.
يجب أن يكون بُعد مجموعة Kakeya في الفضاء رباعي الأبعاد 4. أفضل نتيجة حالية للبشر في أربعة أبعاد هي 3.059 تم الحصول عليها باستخدام عرض "فرشاة الطائرة" في عام 2021. وبعبارة أخرى، لا يمكن إثبات سوى أن لها 3.059 بُعدًا على الأقل. ومن 3.059 إلى 4 يعادل زيادة مباشرة في بعد واحد.
من ثنائي الأبعاد إلى ثلاثي الأبعاد، فإن صعوبة المشكلة تكاد تكون "تغييرًا نوعيًا"؛ من ثلاثي الأبعاد إلى رباعي الأبعاد، فهو أيضًا تغيير نوعي. لأنه كلما زادت الأبعاد، زادت الطرق التي يمكن أن تتقاطع بها هذه "الأنابيب" وتتكدس، وكلما زادت المواقف الهندسية المعقدة التي يحتاج علماء الرياضيات إلى التعامل معها.
لذلك، إذا تمكن علماء الرياضيات من إكمال هذين التخمينين بأنفسهم، فسيستغرق الأمر عدة سنوات على الأقل.
ومع ذلك، وفقًا لبيان OpenAI الخاص، فإن العملية برمتها "بسيطة" تمامًا.
استخدم نموذجًا داخليًا لم يتم إصداره وكلمة سريعة، واسمح للوكيل بتشغيله. في المتوسط، تستهلك كل نتيجة حوالي 3 ساعات فقط من قوة التفكير في ChatGPT Pro.
خلال عملية التقييم بأكملها، تم طرح حوالي 4000 سؤال في النموذج. وبعد الدمج والفرز، بقيت المخطوطات الحالية وعددها 722 مخطوطة.
تتفوق OpenAI على ميدالية فيلدز؟
إذا لم يتم تكديس الشفاطات بشكل كبير، فمن الطبيعي أن تكون المساحة الإجمالية التي تشغلها ضئيلة. لذلك، بمجرد إنشاء الحد الأقصى للدالة، يمكن اشتقاق النسخة المحددة من التخمين مباشرة.
لذلك، قال بعض مستخدمي الإنترنت إن الذكاء الاصطناعي استغرق ثلاث ساعات فقط لتجاوز ميدالية فيلدز. ومع ذلك، هذا هو في الواقع نوع من التحيز. فهو لا ينظر بازدراء إلى ميدالية فيلدز فحسب، بل يفشل أيضًا في فهم نتائج بحث وانغ هونغ.
لأن حجة OpenAI لا تبدأ من الصفر. ذكرت عائلة النتائج رقم 074 بوضوح أنها تستند إلى نتائج بحث وانغ هونغ ولم تكن مستمدة من لا شيء.
وهذا يتماشى أيضًا مع معايير البحث الرياضي. تقريبا كل اختراق كبير في تاريخ البشرية يقف على أكتاف أسلافه، ويستند دليل وانغ هونغ نفسه أيضا على عملها السابق على "مجموعات كاكيا اللزجة" ونتائج العديد من علماء الرياضيات في الثلاثين عاما الماضية.
والأمر الأكثر مصادفة هو أنه في وقت مبكر من مارس 2025، توقع عالم الرياضيات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا لاري جوث في مقابلة أن الانتقال من بعدين إلى ثلاثة أبعاد هو الخطوة الأكثر صعوبة، ومن المرجح أن يتم تحويل برهان وانغ هونغ واستخدامه في المسائل ذات الأبعاد الأعلى.
لذا، إذا كان استنتاج OpenAI رباعي الأبعاد صحيحًا، إلى حد ما، فإنه يؤكد أيضًا صحة حكم عالم الرياضيات في ذلك الوقت.
كيف ينبغي لنا أن نفهم عبارة "أكثر من وسام فيلدز"؟
أولاً، تكافئ وسام فيلدز عالم الرياضيات على مساهمته الإجمالية، وليس مجرد ورقة بحثية واحدة. الأمر فقط أنه في ميدالية فيلدز الممنوحة لوانغ هونغ، فإن مجموعة تخمين كاكيتاني ثلاثية الأبعاد هي بالفعل النتيجة الأساسية.
ثانيًا، إذا كانت مخطوطة OpenAI رقم 074 صحيحة بالفعل، فمن حيث البعد الفردي لـ "الصعوبة" الرياضية، فهي بالفعل أكثر صعوبة من السؤال الذي فاز وانغ هونغ بالجائزة عنه: لأن نسخة الوظيفة القصوى ثلاثية الأبعاد تحتوي على النسخة المحددة، ومشكلة أبعاد هاوسدورف رباعية الأبعاد هي هدف إضافي للبشرية بعد الأبعاد الثلاثة التي لم يتم حلها من قبل.
ولكن هناك كلمة رئيسية في هذه الجملة، وهي "إذا".
لا تحتوي المخطوطة رقم 074 حاليًا على دليل رسمي على اللين ولم تخضع لمراجعة النظراء. وإلى أن يتم التحقق منها، فهي مجرد "بحث يدعي حل مشكلة أصعب" وليس "مشكلة أصعب تم إثباتها". في تاريخ الرياضيات، هناك العديد من «البراهين» التي تم الإعلان عنها ثم سحبها.
في الوقت الحاضر، ما زلنا عالقين في كلمة "إذا".
أصبحت وسام فيلدز الذي حصل عليه وانغ هونغ، بعد أشهر من الاختبار والمراجعة من قبل المجتمع الأكاديمي بأكمله، حجر الزاوية في هذا المجال. وبغض النظر عما إذا كانت مخطوطة OpenAI قد تم إنشاؤها في النهاية أم لا، فإن نقطة بدايتها لا يمكن فصلها عن حجر الزاوية هذا.
التحقق هو الأصعب
تكمن الصعوبة الحقيقية في التحقق. تعد عملية التحقق من الرياضيات أحد أكثر الجوانب كثيفة العمالة في البحث الرياضي بأكمله.
خذ وانغ هونغ كمثال.
في فبراير 2025، نشرت إثباتًا لمجموعة تخمينات Kakeya ثلاثية الأبعاد على موقع الويب الأكاديمي المسبق arXiv، والذي يبلغ طوله حوالي 127 صفحة.
بعد إصدار الورقة، لا يتم التعرف عليها على الفور على أنها "صحيحة". خضعت هذه الورقة لفحص ذاتي متكرر من قبل المؤلف، وتحليل مطول من قبل علماء مشهورين مثل تيرينس تاو. ووصفته مجلة كوانتا بأنه دليل "يحدث مرة واحدة في القرن".
استمرت أعمال التحقق من فبراير 2025 حتى الإعلان عن وسام فيلدز في يوليو 2026، والذي استغرق ما يقرب من عام ونصف. وحتى اليوم، لم يستوعب العديد من علماء الرياضيات الأفكار الجديدة في هذه المجموعة من البراهين ولم يستوعبوها بشكل كامل.
يعني هذا أن الدليل المؤلف من أكثر من 100 صفحة والذي كتبه أحد كبار علماء الرياضيات البشريين سيتعين عليه أن يخضع لمراجعة جماعية لأكثر من عام قبل أن يتم الاعتراف به على نطاق واسع.
الآن، وصلت 722 مقالة في وقت واحد.
ليس هذا فحسب، بل إن العديد من المخطوطات البالغ عددها 722 الصادرة عن OpenAI عبارة عن حجج طويلة تبلغ مئات الصفحات. إذا كانت كل مقالة تتطلب خبيرًا لقراءتها لعدة أشهر، فقد لا يكون هناك سوى بضع عشرات من الخبراء في العالم يمكنهم فهم إحدى المقالات، أو حتى أقل.
علاوة على ذلك، يمتلك كل من هؤلاء الخبراء أبحاثه الخاصة، ومن المستحيل ترك كل العمل الذي بين أيديهم "للعمل كمراجع" لـ OpenAI.
الأمر الأكثر إثارة للقلق هو أن المتحدث باسم OpenAI اعترف بأن العديد من هذه النتائج ليست مفهومة تمامًا من قبل علماء الرياضيات في OpenAI، بما في ذلك المخطوطة رقم 074 المذكورة أعلاه.
لذا فإن ردود الفعل التي قدمها مجتمع الرياضيات أكثر تشككًا.
هذا النوع من القلق ليس جديدًا في يومنا هذا.
في 8 سبتمبر 2026، أعلنت شركة OpenAI أن نموذجها الداخلي قد حل مشكلة الألفية في معادلة نافييه-ستوكس. وقيل أنه تم استخدام حوالي 10000 وكيل لإجراء العمليات الحسابية الموازية.
ومع ذلك، ذكر عالم الرياضيات في جامعة براون جوميز سيرانو في محاضرة ألقاها في جامعة هارفارد أن الدليل ذو الصلة المكون من 166 صفحة "غير مفهوم".
في الحادي عشر من سبتمبر، أصدر 25 فائزًا بميدالية فيلدز (بما في ذلك تيرينس تيرو وآخرون) بيانًا عامًا مشتركًا بعنوان "الخطأ الخطير في الذكاء الاصطناعي في الرياضيات"، ينتقدون فيه شركات الذكاء الاصطناعي لاستخدامها "التغلب على المشكلات الشهيرة" كأداة تسويقية لإظهار قدرات النموذج وإطلاقها على عجل. لم يقتصر الأمر على عدم تعزيز تطور الرياضيات فحسب، بل كان له أيضًا تأثير سلبي على مجتمع الرياضيات.
في 21 سبتمبر، أعلنت شركة OpenAI عن إنشاء مجموعة استشارية مستقلة مكونة من علماء رياضيات (AGMAI، ومقرها معهد الدراسات المتقدمة في برينستون). وفي 29 سبتمبر، ذكرت المجموعة الاستشارية أنه عند نشر النتائج الرياضية الناتجة عن الذكاء الاصطناعي، فإنها ستكشف أيضًا عن النموذج المستخدم والكلمات السريعة المحددة ووقت الحساب.
ولكن من بين 722 مخطوطة أصدرتها شركة OpenAI هذه المرة، تم الإعلان عن أرقام إجمالية فقط مثل "متوسط وقت الحساب". ولم يتم الإعلان عن أي كلمات سريعة، ولم يتم الكشف عن أي نماذج.
قال عالم الرياضيات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا أندرو ساذرلاند: "ما لم ينشروا النموذج حتى يتمكن الجميع من إعادة إنتاجه، فإن فكرة أن وكيلًا واحدًا يمكنه حل المشكلة بموجه واحد يجب أن تعتبر غير مثبتة. يجب أن نطالب برؤية "الإيصال".
المعنى الضمني هو أن هذه المخطوطات البالغ عددها 722 كلها "أخبار مزيفة".
في 7 أكتوبر/تشرين الأول، ذكرت جمعية العلوم الإنسانية والرياضيات في البداية أنها تعتقد أن "إصدار أكثر من 700 وثيقة في وقت واحد لا يظهر أكاديميين، بل نوعًا من القوة". وفي وقت لاحق، دعت الجمعية علماء الرياضيات إلى التوقف عن التعاون مع OpenAI.
بالطبع هناك صوت آخر. وقال دانييل ليت من جامعة تورنتو: "إذا أردنا معرفة إجابات هذه المسائل الرياضية، فلا أرى أي سبب لمطالبة الشركات بإخفائها... وهذا أمر جيد بالنسبة للرياضيات".
لا يستطيع علماء الرياضيات التحقق من هذه المخطوطات البالغ عددها 722 في وقت قصير، لذلك يأملون في التحقق منها من خلال Lean.
Lean هو "مساعد إثبات" ولغة برمجة. يحتاج علماء الرياضيات إلى ترجمة كل خطوة من خطوات الإثبات إلى لغة صارمة يستطيع لين فهمها. ثم يقوم نظام Lean بفحصه خطوة بخطوة. طالما أن أي خطوة غامضة أو تم تخطيها، فسوف تفشل. وبمجرد اجتيازه، يصبح من المؤكد تقريبًا أنه خالي من الأخطاء منطقيًا.
وفقًا للفهرس العام، من بين 372 عائلة نتيجة تم دمجها في 722 مخطوطة، 235 منها لها أوصاف رسمية لين، وهو ما يمثل حوالي 63%.
لكن اللين ليس كلي القدرة. قال عالم الرياضيات جيل كالاي إنه قد تكون هناك أيضًا مشكلات في التحقق من Lean. على سبيل المثال، عند ترجمة مشكلة رياضية إلى لغة Lean، إذا كان هناك انحراف في الترجمة نفسها وتم اجتياز التحقق الآلي، فقد لا تكون المشكلة الأصلية. بالإضافة إلى ذلك، لا يمكن لـ Lean إلا أن يؤكد أنه "غير معقول منطقيًا"، لكنه لا يستطيع الحكم على ما إذا كانت النتيجة جديدة أو ذات قيمة.
لذلك فإن المخطوطة رقم 074، والتي لم يتم إضفاء طابع رسمي عليها من قبل لين، لا يمكن التحقق منها إلا من قبل علماء الرياضيات.
إذا ثبت أخيرًا صحة المخطوطة رقم 074، فلا بد أن تكون حدثًا بارزًا في تاريخ الرياضيات.
لقد استغرق الأمر أكثر من 100 عام لتطوير مشكلة كاكيا إلى ثلاثة أبعاد، لكن الذكاء الاصطناعي اتخذ عدة خطوات للأمام في ثلاث ساعات فقط.
وبالمثل، قد يُكتشف في النهاية أن المخطوطة رقم 074 خاطئة بالفعل.
في التحليل النهائي، هل ينبغي أن يسمى "الدليل" الذي لا يستطيع البشر التحقق منه في فترة زمنية قصيرة "دليلًا"؟ هذا هو اللغز الحقيقي المتروك لمجتمع الرياضيين.
التعليقات